线性离子阱理论

质谱仪采用线性离子阱（LIT，Linear Ion Trap）作为质量分析器，它的核心是一个如上图所示的四极杆，杆的半径为，对杆间距离的一半为，理论上时性能最优。

对杆加相同的电压，邻杆加反向电压：

考虑四极杆内平面上某一点的带电离子的受力方程：

其中为带电粒子电荷数，为单位电荷电量，是点的电场强度，是的函数，可由四极杆的尺寸确定（过程略）：

将代入受力方程，可得带电离子在四极杆内的运动方程（Paul方程）：

当离子运动位移和无法超过时，离子轨迹就是稳定的，我们的目标使要找到能够使离子轨迹稳定的条件。

马修方程 (Mathieu Equition)

物理学家马修在1866年提出如下方程，用来研究膜上的波动，它恰好和四极杆中离子的运动方程具有相似的形式：

其中可以表示或。我们对比Paul方程和Mathieu方程，做如下替换：

于是，Paul方程可以转换为Mathieu方程，其中：

稳定区

对马修方程求解涉及到很深的数学理论（Floquet' Theorem）和数学计算，我们这里直接给出马修方程的稳定区的解，如下图所示，它画出了在坐标上的稳定区分布：

我们将等于和 (与相对于对轴对称）的稳定区画在一个图中，并放大：

在和两个维度都稳定的区域被标记为，，和。

质谱仪工作在区的正半轴，我们将它继续放大：

上图给出了四极杆在坐标系下的稳定区间（简写为和），这个稳定区是数学的、不变的，和四极杆电压、以及离子质量数的取值无关。通常来讲，四极杆的工作频率和物理参数是不变的，于是当我们给定电压、 和离子的，即可通过公式和计算出其相对应的和，从而判断出在给定条件下离子的稳定性。为了简便，在后面的讨论中，我们假设，和是等价的。

对于给定四极杆，如果给定DC电压和RF电压，则离子的和位于这条直线上，这条直线与稳定区的交集即为可以在四极杆方向稳定的值范围，于是我们可以通过公式和得出稳定区间内的离子质量数。如上图所示，稳定区范围内的离子和是稳定的，离子是不稳定的，这就是所谓的离子选择。

四极杆 (Quadrupole)

四极杆质量分析器通常工作在固定的条件下，通过调整DC电压和RF电压，可以改变进入稳定区的离子的质量范围。比如，如果我们增大电压，那么被选择的离子质量需要和等比例放大，才能保持不变，从而进入稳定区，只有稳定区内的离子才能沿$z%轴出射，被检测器检测。

四极杆质量分析器就是通过同步线性调整和来进行离子选择和质谱扫描的，我们称之为DC ramp和RF ramp。

与之相对应的离子选择如下图所示，需要注意的是，图中横坐标为，它与成正比，即不同的意味着选择了不同的离子。

我们注意到，当的斜率增加时，稳定区的范围会变小，也就意味着同一时间被检测到的离子范围会变小，因此质谱的分辨率会更好。理论上讲，当时，稳定区会缩小到一个点，此时的质谱分辨率是最高的，但实际上，考虑到离子的动能，以及质谱的灵敏度，四极杆质量分析器的分辨率可以达到。

线性离子阱 (Linear Ion Trap)

线性离子阱也采用四极杆作为质量分析器，不过离子阱对四极杆的使用方式和上述的四极杆模式不同，它具有阱的功能，既可以进行离子捕获（Ion Trapping），也支持串联质谱（Tandem MS)。

离子捕获（Ion Trapping）

为了捕获带电离子，离子在阱内, , 三个方向上的运动需要同时受限。如上图所示，我们在前后两个带孔的金属片上施加一定的电压Gate，在四极杆上叠加直流电压Trap，从而在方向上形成了控制离子运动的电势阱。

在方向上，离子的运动被四极杆所限制。我们让四极杆工作在RF-only模式下，即只施加RF电压，此时，可得。因此，线性离子阱的稳定区在轴上，其范围为，如下图所示。

在给定RF电压的条件下，我们可以根据公式计算质量数为的值，从而判断它是否在稳定区内。

同样的，对于某个质量数为的离子，我们可以通过改变来改变它的值，从而人为的让它进入或者离开稳定区，或者调整它在稳定区内的位置。

LMCO

从上面的讨论我们可以看出，离子质量越小，值越大，当时，离子就离开稳定区，不会被阱捕获。因此，给定RF电压，我们可以计算的离子质量，此即为离子阱能够捕获的最小的离子质量，我们称之为LMCO（Low Mass Cut Off）。在Cell系统里，我们计算LMCO的值为（可配置），它和离子出射的值一致，因为比LMCO小的离子，即使可以被捕获，也无法被检出。

我们需要设置合适的LMCO参数进行离子捕获，并通过LMCO反算出RF电压，正比于LMCO。降低LMCO可以捕获更小质量的离子，扩大检测的质量范围。

但是我们还需要考虑离子阱的Trapping能量，即离子阱可以捕获的最大的离子能量，它和Dehmelt电势成正比，而是的函数并与成正比。如下图所示，曲线上纵坐标即为与对应的Dehmelt电势，的绝对值越大，Trapping能量越大，其捕获离子的能力也越大。

Dehmelt电势

Delmelt电势又被称为Pseudopotential Well，由Dehmelt提出，可由如下公式表示：

当较小时，与成正比，当较大时（大于0.8），稳定区效应变为主导，其势阱的能量急剧下降，直到时，离子阱将无法捕获离子。

因此，我们需要平衡小质量离子的检测能力和离子捕获的效率，选择合适的LMCO用于离子捕获，一般来说，线性离子阱的离子捕获效率可以达到50%以上。Cell的LMCO通常被设置为50。

理论上讲，离子阱可以捕获无限大质量的离子，但由于Trapping能量和离子出射能力的限制，离子阱可以检测的离子质量范围是有限的，Cell的质量范围约为。

碰撞冷却（Collisional Cooling）

当带电离子进入离子阱时通常具有比较大的动能，如果我们不控制这种不规则的、强烈的离子运动，最终会影响质谱仪的分辨率和灵敏度。大型质谱设备会引入少量氮气或者氦气作为背景气（buffer gas），并控制真空气压在之间，通过分子之间的碰撞，可以让待测离子减速，使离子轨迹更靠近离子阱的中心，这个过程被称为碰撞冷却，时间需要大约。

在我们的系统中，离子在进入到离子阱时，空气也会随之进入到真空腔内，此时真空气压会升高到左右。以空气为背景气，待测离子会在1-2秒的时间内与空气分子发生碰撞，进行冷却。这里之所以需要1-2秒的时间，主要是因为我们需要把真空气压降低到质谱的工作气压，即约。

长期频率（Secular Frequencies）

在线性离子阱的半径方向（即方向），带电离子的运动轨迹是一种振动形式，如下图所示，其中左侧表示稳定的运动轨迹，而右侧是不稳定的运动轨迹。

为了求解离子运动轨迹的频率，我们需要回到马修方程：

用Floquet和Fourier方法对马修方程求解，解的形式含有函数，其中实数解对应着不稳定的运动轨迹，而纯虚数解则对应着稳定的运动轨迹，稳定解要求同时满足和。马修方程的稳定解表达式为：

将带入上式，可得离子的长期频率（Secular Frequencies，因可以让离子保持长时间运动而得名）为：

下图显示了实测的离子运动轨迹的傅里叶分析结果，与理论结果吻合。当时，频率为离子的主要运动轨迹频率，简写为。被称为基础 (fundamental) Secular Frequency，它小于在四极杆上施加的驱动电压频率，也是在质谱分析中最常用的频率。

计算离子Secular Frequency的可以由和的连分式通过迭代求得：

的近似值可以由下面的等式计算：

下图给出了与和的大致关系。

谐振激励（Resonant Exitation）

当我们给离子阱中的带电离子施加与它的相同频率的交变电场时，离子会获得额外的能量，运动轨迹会不断扩张，直到离开离子阱，这个过程被称为谐振激励。在我们的系统里，这个交变电场被施加在对杆上，被称为AC信号。

我们可以控制RF和AC信号，对特定质量离子在特定的下施加AC信号，利用谐振激励对离子进行操作，如离子出射、离子选择和碰撞诱导解离等。

离子出射（Ion Ejection）

为了能够进行离子的检测，我们需要让特定质量的离子受控地离开离子阱，这个过程被称为离子出射（Ion Ejection）。

一个自然的想法是，我们可以控制RF电压，将离子的值移动到0.908，当从LMCO逐渐升高，离子将从小到大依次离开稳定区，并被检测器检测。但是采用这种方式出射的质量分辨率不佳，离子阱中的高质量离子会影响低质量离子（尤其是离子质量接近时），导致质谱峰变宽。

更好的离子出射是利用谐振激励原理，给特定下的离子施加AC信号，让离子沿着轴向或者径向出射。Cell采用轴向出射的方式，并选择离子出射的值为0.825，它离0.908不远，并具有一定的势阱深度。

在离子出射时，除了需要调整RF电压（离子质量从低到高，将值移动到0.825）和施加AC信号（对的离子产生谐振激励），在轴向上，我们还需要控制Gate和Trap电压，将离子“推“至离子阱的一端，让离子更容易从四极杆的端面出射。

离子选择（Ion Isolation）

离子选择是将无关离子”扫”出离子阱，只将感兴趣的离子留在阱内的过程，它是进行MSn的一个重要离子操作。离子选择也利用了谐振激励的原理，只不过是对未被选择的离子施加AC信号，使其获得额外动能，离开离子阱。

为了选择需要留下的离子，我们先调整RF电压，将离子的值移动到0.72，我们称之为iso_q。当时，离子的势阱较深，离不稳定区也较远，它在阱内更具稳定性。接着，我们会施加频率变化的AC信号，频率需包含除被选择离子（即）外所有其它值所对应的频率。

Cell采用反傅立叶变换储存波形 (SWIFT)方法来生成离子选择所需的AC信号，需要先给出频率的分布（频域函数），然后通过反傅里叶变换生成时域上的信号，如下图所示。从图中可以看出，信号中会有一个"坑“，它的位置由选择的离子质量所决定，宽度可以通过一个可以调节的参数控制，我们称之为离子选择范围，以离子质量为单位。

为了提升离子选择的性能，Cell通常会进行两次离子选择，第一次采用较宽的离子选择范围，并使用较大的能量（AC信号的幅度），第二次采用较窄的离子选择范围，和较小的AC能量。两者相结合，可以即保证离子选择的干净程度，又能最大限度避免所选择的离子的损失。

碰撞诱导解离 (Collision-induced dissociation)

离子阱质谱的一个重要功能是串联质谱分析，即可以对指定离子进行操作，将其分解为碎片离子，进而分析其分子结构。将离子分解为碎片的过程被称为离子解离（dissociation），被分解的离子被称为母离子（precusor ion），碎片离子被称为子离子。

碰撞诱导解离（CID）是一种常用的离子解离方法，它的基本原理是，在有背景气的条件下，让母离子进行谐振激励，产生动能，进而与背景气分子发生碰撞，使其解离成一个或多个子离子。

Cell进行CID的过程如下：

1. 打开DAPI补气，将空气作为CID的背景气。因为补气后的气压偏高，我们通常会等待几百毫秒的时间，让阱内达到一个合适的气压。
2. 通过调整RF电压，将母离子的值设置到到0.3左右。我们选择的原因在于，我们需要让子离子尽可能稳定，子离子的质荷比通常会小于母离子，它的值则大于：如果过大，那么较小子离子的值很可能会超过0.825，从而无法被检测；如果过小，那么母离子的势阱会变得很小，很可能会被AC信号激励，离开离子阱。
3. 对母离子施加AC信号，通过谐振激励，对母离子进行碰撞诱导解离。AC信号的频率由来决定，；AC信号的强度（记为cid_amp)与物质的化学性质相关，因此被存储在谱库里，作为质谱方法参数。